Løs 4x^2+4x=1

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4x^{2}+4x=1$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, 4 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Adder 16 til 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} når ± er plus. Adder -4 til 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

Divider -4+4\sqrt{2} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{2} fra -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

Divider -4-4\sqrt{2} med 8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4x^{2}+4x=1$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

Divider 4 med 4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Føj \frac{1}{4} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$