Løs 4a^2-5a+2=0

$$4 { a }^{ 2 } -5a+2 = 0$$

Løs for a

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8}\approx 0,625+0,330718914i$$

$$a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}\approx 0,625-0,330718914i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4a^{2}-5a+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -5 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Kvadrér -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplicer -16 gange 2.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-32}}{2\times 4}$$

Adder 25 til -32.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-7}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af -7.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8} når ± er plus. Adder 5 til i\sqrt{7}.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{5±\sqrt{7}i}{8} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{7} fra 5.

$$a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8} a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4a^{2}-5a+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$4a^{2}-5a+2-2=-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4a^{2}-5a=-2$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{2}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{2}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{2}$$

Divider -\frac{5}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{64}$$

Føj -\frac{1}{2} til \frac{25}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{7}{64}$$

Faktor a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{64}}$$

Forenkling.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{7}i}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{7}i}{8}$$

Adder \frac{5}{8} på begge sider af ligningen.

$$a=\frac{5+\sqrt{7}i}{8} a=\frac{-\sqrt{7}i+5}{8}$$