Løs 4a^2-5a+1=0

$$4 { a }^{ 2 } -5a+1 = 0$$

Løs for a

$$a=\frac{1}{4}=0,25$$

$$a=1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4a^{2}+aa+ba+1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -5.

$$a=-4 b=-1$$

Omskriv 4a^{2}-5a+1 som \left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right).

$$\left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right)$$

Ud4a i den første og -1 i den anden gruppe.

$$4a\left(a-1\right)-\left(a-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet a-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(a-1\right)\left(4a-1\right)$$

Løs a-1=0 og 4a-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 4 med a, -5 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrér -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplicer -4 gange 4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Adder 25 til -16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Tag kvadratroden af 9.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$a=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Multiplicer 2 gange 4.

$$a=\frac{5±3}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{5±3}{8} når ± er plus. Adder 5 til 3.

$$a=\frac{8}{8}$$

Divider 8 med 8.

$$a=1$$

Nu skal du løse ligningen, a=\frac{5±3}{8} når ± er minus. Subtraher 3 fra 5.

$$a=\frac{2}{8}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{8} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$4a^{2}-5a+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$4a^{2}-5a=-1$$

Divider begge sider med 4.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{1}{4}$$

Division med 4 annullerer multiplikationen med 4.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{4}$$

Divider -\frac{5}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{8}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Føj -\frac{1}{4} til \frac{25}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktor a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Forenkling.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Adder \frac{5}{8} på begge sider af ligningen.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$