Løs 4left(x+3right)^2-12x-72>0

$$4 { \left(x+3 \right) }^{ 2 } -12x-72 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}\right)\cup \left(\frac{3\sqrt{5}-3}{2},\infty\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)-12x-72>0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med x^{2}+6x+9.

$$4x^{2}+24x+36-12x-72>0$$

Kombiner 24x og -12x for at få 12x.

$$4x^{2}+12x+36-72>0$$

Subtraher 72 fra 36 for at få -36.

$$4x^{2}+12x-36>0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+12x-36=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 4 med a, 12 med b, og -36 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\left(-36\right)}}{2\times 4}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{-12±12\sqrt{5}}{8}$$

Løs ligningen x=\frac{-12±12\sqrt{5}}{8} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$4\left(x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2}\right)\left(x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}\right)>0$$

For at produktet bliver positivt, skal x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2} og x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2} begge være negative eller begge være positive. Overvej sagen, når x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2} og x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2} begge er negative.

$$x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2}<0 x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x<\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}.

$$x<\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$

Overvej sagen, når x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2} og x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2} begge er positive.

$$x-\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}>0 x-\frac{3\sqrt{5}-3}{2}>0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x>\frac{3\sqrt{5}-3}{2}.

$$x>\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x<\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}\text{; }x>\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$$