Løs 3x-5x^2=3

$$3x-5 { x }^{ 2 } =3$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}\approx 0,3-0,714142843i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}\approx 0,3+0,714142843i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$-5x^{2}+3x-3=3-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-5x^{2}+3x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -5 med a, 3 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer -4 gange -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 20 gange -3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\left(-5\right)}$$

Adder 9 til -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\left(-5\right)}$$

Tag kvadratroden af -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 2 gange -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} når ± er plus. Adder -3 til i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{-10}$$

Divider -3+i\sqrt{51} med -10.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{51} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{-10}$$

Divider -3-i\sqrt{51} med -10.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10} x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Divider begge sider med -5.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=\frac{3}{-5}$$

Division med -5 annullerer multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=\frac{3}{-5}$$

Divider 3 med -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{3}{-5}$$

Divider 3 med -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Divider -\frac{3}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{9}{100}$$

Føj -\frac{3}{5} til \frac{9}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{51}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{51}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{51}{100}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{51}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{51}i}{10}$$

Adder \frac{3}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10} x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$