Løs 3x(x+1)=-9

$$3x(x+1)=-9$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}\approx -0,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}\approx -0,5-1,658312395i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x med x+1.

$$3x^{2}+3x=-9$$

Tilføj 9 på begge sider.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 3 med b og 9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-108}}{2\times 3}$$

Adder 9 til -108.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-99}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -99.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} når ± er plus. Adder -3 til 3i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{11}i}{6}$$

Divider -3+3i\sqrt{11} med 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} når ± er minus. Subtraher 3i\sqrt{11} fra -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{11}i-3}{6}$$

Divider -3-3i\sqrt{11} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x med x+1.

$$3x^{2}+3x=-9$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Divider 3 med 3.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{3}$$

Divider -9 med 3.

$$x^{2}+x=-3$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

Adder -3 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$