Løs 3x+3=x^2+4x+5

$$3x+3= { x }^{ 2 } +4x+5$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}\approx -0,5-1,322875656i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}\approx -0,5+1,322875656i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

Kombiner 3x og -4x for at få -x.

$$-x+3-x^{2}=5$$

Subtraher 5 fra begge sider.

$$-x+3-x^{2}-5=0$$

Subtraher 5 fra 3 for at få -2.

$$-x-2-x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}-x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, -1 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 1 til -8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af -7.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2} når ± er plus. Adder 1 til i\sqrt{7}.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{-2}$$

Divider 1+i\sqrt{7} med -2.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{7}i}{-2} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{7} fra 1.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{-2}$$

Divider 1-i\sqrt{7} med -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$3x+3-x^{2}=4x+5$$

Subtraher 4x fra begge sider.

$$3x+3-x^{2}-4x=5$$

Kombiner 3x og -4x for at få -x.

$$-x+3-x^{2}=5$$

Subtraher 3 fra begge sider.

$$-x-x^{2}=5-3$$

Subtraher 3 fra 5 for at få 2.

$$-x-x^{2}=2$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}-x=2$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{2}{-1}$$

Divider -1 med -1.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-1}$$

Divider 2 med -1.

$$x^{2}+x=-2$$

Divider 1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

Adder -2 til \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Subtraher \frac{1}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i-1}{2}$$