Løs 37x^2-70x+25=0

$$37 x ^ { 2 } - 70 x + 25 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{10 \sqrt{3} + 35}{37} \approx 1,414067786$$

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}\approx 0,477824106$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 37 med a, -70 med b og 25 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

Kvadrér -70.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

Multiplicer -4 gange 37.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-148\times 25}}{2\times 37}$$

Multiplicer -148 gange 25.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-3700}}{2\times 37}$$

Adder 4900 til -3700.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{1200}}{2\times 37}$$

Tag kvadratroden af 1200.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

Det modsatte af -70 er 70.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

Multiplicer 2 gange 37.

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} når ± er plus. Adder 70 til 20\sqrt{3}.

$$x=\frac{20\sqrt{3}+70}{74}$$

Divider 70+20\sqrt{3} med 74.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} når ± er minus. Subtraher 20\sqrt{3} fra 70.

$$x=\frac{70-20\sqrt{3}}{74}$$

Divider 70-20\sqrt{3} med 74.

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$37x^{2}-70x+25=0$$

Subtraher 25 fra begge sider af ligningen.

$$37x^{2}-70x+25-25=-25$$

Hvis 25 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$37x^{2}-70x=-25$$

Divider begge sider med 37.

$$\frac{37x^{2}-70x}{37}=-\frac{25}{37}$$

Division med 37 annullerer multiplikationen med 37.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x=-\frac{25}{37}$$

Divider -\frac{70}{37}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{35}{37}. Adder derefter kvadratet af -\frac{35}{37} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}=-\frac{25}{37}+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{35}{37} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=-\frac{25}{37}+\frac{1225}{1369}$$

Føj -\frac{25}{37} til \frac{1225}{1369} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=\frac{300}{1369}$$

Faktor x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}=\frac{300}{1369}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{300}{1369}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{35}{37}=\frac{10\sqrt{3}}{37} x-\frac{35}{37}=-\frac{10\sqrt{3}}{37}$$

Adder \frac{35}{37} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$