Løs 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 31 med a, -3 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Multiplicer -4 gange 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Adder 9 til -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Tag kvadratroden af -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Multiplicer 2 gange 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} når ± er plus. Adder 3 til i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{115} fra 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Divider begge sider med 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Division med 31 annullerer multiplikationen med 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Divider -\frac{3}{31}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{62}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{62} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{62} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Føj -\frac{1}{31} til \frac{9}{3844} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Adder \frac{3}{62} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$