Løs 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Løs for x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13,428571429$$

$$x=12$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 3384 fra begge sider.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Divider begge sider med 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 7x^{2}+ax+bx-1128. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

Løsningen er det par, der får summen 10.

$$a=-84 b=94$$

Omskriv 7x^{2}+10x-1128 som \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Ud7x i den første og 94 i den anden gruppe.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-12 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

Løs x-12=0 og 7x+94=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Subtraher 3384 fra begge sider af ligningen.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Hvis 3384 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 21 med a, 30 med b og -3384 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Kvadrér 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Multiplicer -4 gange 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Multiplicer -84 gange -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Adder 900 til 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Tag kvadratroden af 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Multiplicer 2 gange 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-30±534}{42} når ± er plus. Adder -30 til 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Divider 504 med 42.

$$x=12$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-30±534}{42} når ± er minus. Subtraher 534 fra -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Reducer fraktionen \frac{-564}{42} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Divider begge sider med 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

Division med 21 annullerer multiplikationen med 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Reducer fraktionen \frac{30}{21} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Reducer fraktionen \frac{3384}{21} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Divider \frac{10}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{7}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Føj \frac{1128}{7} til \frac{25}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Subtraher \frac{5}{7} fra begge sider af ligningen.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$