Løs 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Løs for t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 225 med t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Subtraher 225t^{2} fra begge sider.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Subtraher 4500t fra begge sider.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Kombiner 30t og -4500t for at få -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Subtraher 22500 fra begge sider.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -225 med a, -4470 med b og -22500 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Kvadrér -4470.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Multiplicer -4 gange -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Multiplicer 900 gange -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Adder 19980900 til -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Tag kvadratroden af -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Det modsatte af -4470 er 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Multiplicer 2 gange -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} når ± er plus. Adder 4470 til 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Divider 4470+30i\sqrt{299} med -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Nu skal du løse ligningen, t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} når ± er minus. Subtraher 30i\sqrt{299} fra 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Divider 4470-30i\sqrt{299} med -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Ligningen er nu løst.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug binomialsætningen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til at udvide \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 225 med t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Subtraher 225t^{2} fra begge sider.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Subtraher 4500t fra begge sider.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Kombiner 30t og -4500t for at få -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Divider begge sider med -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Division med -225 annullerer multiplikationen med -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Reducer fraktionen \frac{-4470}{-225} til de laveste led ved at udtrække og annullere 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Divider 22500 med -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Divider \frac{298}{15}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{149}{15}. Adder derefter kvadratet af \frac{149}{15} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{149}{15} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Adder -100 til \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Faktor t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Forenkling.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Subtraher \frac{149}{15} fra begge sider af ligningen.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$