Løs 30b^2-28b-16=0

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

Løs for b

$$b=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 2.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 15b^{2}+ab+bb-8. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Løsningen er det par, der får summen -14.

$$a=-20 b=6$$

Omskriv 15b^{2}-14b-8 som \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right).

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

Ud5b i den første og 2 i den anden gruppe.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3b-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

Løs 3b-4=0 og 5b+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 30 med a, -28 med b og -16 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Kvadrér -28.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Multiplicer -4 gange 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Multiplicer -120 gange -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

Adder 784 til 1920.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

Tag kvadratroden af 2704.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

Det modsatte af -28 er 28.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

Multiplicer 2 gange 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

Nu skal du løse ligningen, b=\frac{28±52}{60} når ± er plus. Adder 28 til 52.

$$b=\frac{80}{60}$$

Reducer fraktionen \frac{80}{60} til de laveste led ved at udtrække og annullere 20.

$$b=\frac{4}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, b=\frac{28±52}{60} når ± er minus. Subtraher 52 fra 28.

$$b=-\frac{24}{60}$$

Reducer fraktionen \frac{-24}{60} til de laveste led ved at udtrække og annullere 12.

$$b=-\frac{2}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Adder 16 på begge sider af ligningen.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Hvis -16 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

Subtraher -16 fra 0.

$$30b^{2}-28b=16$$

Divider begge sider med 30.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

Division med 30 annullerer multiplikationen med 30.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

Reducer fraktionen \frac{-28}{30} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

Reducer fraktionen \frac{16}{30} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

Divider -\frac{14}{15}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{15}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{15} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{15} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

Føj \frac{8}{15} til \frac{49}{225} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

Faktor b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

Forenkling.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

Adder \frac{7}{15} på begge sider af ligningen.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$