Løs 3-sqrt{x-1}=sqrt{4x+5}

$$3- \sqrt{ x-1 } = \sqrt{ 4x+5 }$$

Løs for x

$$x=1$$

Løsningsvejledning

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(3-\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{4x+5}\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(3-\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$9-6\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{4x+5}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x-1} til potensen af 2, og få x-1.

$$9-6\sqrt{x-1}+x-1=\left(\sqrt{4x+5}\right)^{2}$$

Subtraher 1 fra 9 for at få 8.

$$8-6\sqrt{x-1}+x=\left(\sqrt{4x+5}\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{4x+5} til potensen af 2, og få 4x+5.

$$8-6\sqrt{x-1}+x=4x+5$$

Subtraher 8+x fra begge sider af ligningen.

$$-6\sqrt{x-1}=4x+5-\left(8+x\right)$$

For at finde det modsatte af 8+x skal du finde det modsatte af hvert led.

$$-6\sqrt{x-1}=4x+5-8-x$$

Subtraher 8 fra 5 for at få -3.

$$-6\sqrt{x-1}=4x-3-x$$

Kombiner 4x og -x for at få 3x.

$$-6\sqrt{x-1}=3x-3$$

Kvadrér begge sider af ligningen.

$$\left(-6\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x-3\right)^{2}$$

Udvid \left(-6\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-6\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x-3\right)^{2}$$

Beregn -6 til potensen af 2, og få 36.

$$36\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x-3\right)^{2}$$

Beregn \sqrt{x-1} til potensen af 2, og få x-1.

$$36\left(x-1\right)=\left(3x-3\right)^{2}$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 36 med x-1.

$$36x-36=\left(3x-3\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(3x-3\right)^{2}.

$$36x-36=9x^{2}-18x+9$$

Subtraher 9x^{2} fra begge sider.

$$36x-36-9x^{2}=-18x+9$$

Tilføj 18x på begge sider.

$$36x-36-9x^{2}+18x=9$$

Kombiner 36x og 18x for at få 54x.

$$54x-36-9x^{2}=9$$

Subtraher 9 fra begge sider.

$$54x-36-9x^{2}-9=0$$

Subtraher 9 fra -36 for at få -45.

$$54x-45-9x^{2}=0$$

Divider begge sider med 9.

$$6x-5-x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+6x-5=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=6 ab=-\left(-5\right)=5$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Det eneste par af den slags er systemløsningen.

$$a=5 b=1$$

Omskriv -x^{2}+6x-5 som \left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right)$$

Udfaktoriser -x i -x^{2}+5x.

$$-x\left(x-5\right)+x-5$$

Udfaktoriser fællesleddet x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-5\right)\left(-x+1\right)$$

Løs x-5=0 og -x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=5 x=1$$

Substituer x med 5 i ligningen 3-\sqrt{x-1}=\sqrt{4x+5}.

$$3-\sqrt{5-1}=\sqrt{4\times 5+5}$$

Forenkling. Den værdi, x=5, ikke opfylder ligningen.

$$1=5$$

Substituer x med 1 i ligningen 3-\sqrt{x-1}=\sqrt{4x+5}.

$$3-\sqrt{1-1}=\sqrt{4\times 1+5}$$

Forenkling. Værdien x=1 opfylder ligningen.

$$3=3$$

Ligningen -\sqrt{x-1}+3=\sqrt{4x+5} har en unik løsning.

$$x=1$$