Løs 3y^2-11y+10=0

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

Løs for y

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3y^{2}+ay+by+10. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Løsningen er det par, der får summen -11.

$$a=-6 b=-5$$

Omskriv 3y^{2}-11y+10 som \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right).

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

Ud3y i den første og -5 i den anden gruppe.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet y-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

Løs y-2=0 og 3y-5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -11 med b og 10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Kvadrér -11.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 10.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

Adder 121 til -120.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

Det modsatte af -11 er 11.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{11±1}{6} når ± er plus. Adder 11 til 1.

$$y=\frac{12}{6}$$

Divider 12 med 6.

$$y=2$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{11±1}{6} når ± er minus. Subtraher 1 fra 11.

$$y=\frac{10}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$y=\frac{5}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Subtraher 10 fra begge sider af ligningen.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

Hvis 10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3y^{2}-11y=-10$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Divider -\frac{11}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

Føj -\frac{10}{3} til \frac{121}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktor y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

Adder \frac{11}{6} på begge sider af ligningen.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$