Løs 3y^2+y-7=0

$$3 y ^ { 2 } + y - 7 = 0$$

Løs for y

$$y = \frac{\sqrt{85} - 1}{6} \approx 1,369924076$$

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}\approx -1,70325741$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 1 med b og -7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -7.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+84}}{2\times 3}$$

Adder 1 til 84.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} når ± er plus. Adder -1 til \sqrt{85}.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{85} fra -1.

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$3y^{2}+y-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Hvis -7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3y^{2}+y=-\left(-7\right)$$

Subtraher -7 fra 0.

$$3y^{2}+y=7$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3y^{2}+y}{3}=\frac{7}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Divider \frac{1}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Føj \frac{7}{3} til \frac{1}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{85}{36}$$

Faktor y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{85}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{36}}$$

Forenkling.

$$y+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{85}}{6} y+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{85}}{6}$$

Subtraher \frac{1}{6} fra begge sider af ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$