Løs 3x-15=2x(x-5)

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

Løs for x

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Kombiner 3x og 10x for at få 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -2x^{2}+ax+bx-15. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Løsningen er det par, der får summen 13.

$$a=10 b=3$$

Omskriv -2x^{2}+13x-15 som \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Ud2x i den første og -3 i den anden gruppe.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet -x+5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Løs -x+5=0 og 2x-3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Kombiner 3x og 10x for at få 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 13 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 169 til -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-13±7}{-4} når ± er plus. Adder -13 til 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{-6}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-13±7}{-4} når ± er minus. Subtraher 7 fra -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Divider -20 med -4.

$$x=5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x med x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Kombiner 3x og 10x for at få 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Tilføj 15 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$13x-2x^{2}=15$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

Divider 13 med -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

Divider 15 med -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Divider -\frac{13}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{13}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{13}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{13}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Føj -\frac{15}{2} til \frac{169}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Adder \frac{13}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$