Løs 3x-(k+1)y=20text{and}(k+2)x-10y=40

$$3 x - ( k + 1 ) y = 20 \text { and } ( k + 2 ) x - 10 y = 40$$

Løs for x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=4\end{matrix}\right,$$

Vejledning i brug af substitution

Overvej den første ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+1 med y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

For at finde det modsatte af ky+y skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x-ky-y=20$$

Kombiner alle led med x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Overvej den anden ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+2 med x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombiner alle led med x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Vælg én af ligningerne, og løs den for x ved at isolere x på venstre side af lighedstegnet.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Adder \left(k+1\right)y på begge sider af ligningen.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Divider begge sider med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Multiplicer \frac{1}{3} gange yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Substituer \frac{yk+y+20}{3} for x i den anden ligning, \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Multiplicer k+2 gange \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Adder \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} til -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Subtraher \frac{40+20k}{3} fra begge sider af ligningen.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Divider begge sider med \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Substituer -\frac{20}{7+k} for y i x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Multiplicer \frac{k+1}{3} gange -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Adder \frac{20}{3} til -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Systemet er nu løst.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Vejledning i brug af matrixer

Overvej den første ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+1 med y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

For at finde det modsatte af ky+y skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x-ky-y=20$$

Kombiner alle led med x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Overvej den anden ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+2 med x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombiner alle led med x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne x og y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Vejledning i brug af eliminering

Overvej den første ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+1 med y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

For at finde det modsatte af ky+y skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x-ky-y=20$$

Kombiner alle led med x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Overvej den anden ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+2 med x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombiner alle led med x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Hvis 3x og \left(k+2\right)x skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med k+2 og alle led på hver side af den anden ligning med 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Forenkling.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Subtraher \left(3k+6\right)x-30y=120 fra \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Adder 3\left(2+k\right)x til -6x-3xk. Betalingsbetingelserne 3\left(2+k\right)x og -6x-3xk udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Adder -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y til 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Adder 20k+40 til -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Divider begge sider med \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Substituer -\frac{20}{7+k} for y i \left(k+2\right)x-10y=40. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Multiplicer -10 gange -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Subtraher \frac{200}{7+k} fra begge sider af ligningen.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Divider begge sider med k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Systemet er nu løst.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Løs for x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\text{ and }k\neq 4\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=4\end{matrix}\right,$$

Vejledning i brug af substitution

Overvej den første ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+1 med y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

For at finde det modsatte af ky+y skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x-ky-y=20$$

Kombiner alle led med x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Overvej den anden ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+2 med x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombiner alle led med x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Vælg én af ligningerne, og løs den for x ved at isolere x på venstre side af lighedstegnet.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Adder \left(k+1\right)y på begge sider af ligningen.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Divider begge sider med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Multiplicer \frac{1}{3} gange yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Substituer \frac{yk+y+20}{3} for x i den anden ligning, \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Multiplicer k+2 gange \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Adder \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} til -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Subtraher \frac{40+20k}{3} fra begge sider af ligningen.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Divider begge sider med \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Substituer -\frac{20}{7+k} for y i x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Multiplicer \frac{k+1}{3} gange -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Adder \frac{20}{3} til -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Systemet er nu løst.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Vejledning i brug af matrixer

Overvej den første ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+1 med y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

For at finde det modsatte af ky+y skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x-ky-y=20$$

Kombiner alle led med x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Overvej den anden ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+2 med x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombiner alle led med x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne x og y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Vejledning i brug af eliminering

Overvej den første ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+1 med y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

For at finde det modsatte af ky+y skal du finde det modsatte af hvert led.

$$3x-ky-y=20$$

Kombiner alle led med x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Overvej den anden ligning. Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere k+2 med x.

$$kx+2x-10y=40$$

Kombiner alle led med x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Hvis 3x og \left(k+2\right)x skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med k+2 og alle led på hver side af den anden ligning med 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Forenkling.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Subtraher \left(3k+6\right)x-30y=120 fra \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Adder 3\left(2+k\right)x til -6x-3xk. Betalingsbetingelserne 3\left(2+k\right)x og -6x-3xk udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Adder -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y til 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Adder 20k+40 til -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Divider begge sider med \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Substituer -\frac{20}{7+k} for y i \left(k+2\right)x-10y=40. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Multiplicer -10 gange -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Subtraher \frac{200}{7+k} fra begge sider af ligningen.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Divider begge sider med k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Systemet er nu løst.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$