Løs 3x(x+1)-(x-2)^2/2=(x+1)(x-1)+15

$$3 x ( x + 1 ) - \frac { ( x - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 15$$

Løs for x

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5,333333333$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Multiplicer begge sider af ligningen med 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6x med x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

For at finde det modsatte af x^{2}-4x+4 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Kombiner 6x^{2} og -x^{2} for at få 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Kombiner 6x og 4x for at få 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+2 med x-1, og kombiner ens led.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Tilføj -2 og 30 for at få 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Kombiner 5x^{2} og -2x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Subtraher 28 fra begge sider.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Subtraher 28 fra -4 for at få -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-32. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=10 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

Løsningen er det par, der får summen 10.

$$a=-6 b=16$$

Omskriv 3x^{2}+10x-32 som \left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right).

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right)$$

Ud3x i den første og 16 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(3x+16\right)$$

Løs x-2=0 og 3x+16=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicer begge sider af ligningen med 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6x med x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

For at finde det modsatte af x^{2}-4x+4 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Kombiner 6x^{2} og -x^{2} for at få 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Kombiner 6x og 4x for at få 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+2 med x-1, og kombiner ens led.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Tilføj -2 og 30 for at få 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Kombiner 5x^{2} og -2x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Subtraher 28 fra begge sider.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Subtraher 28 fra -4 for at få -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 10 med b og -32 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -32.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+384}}{2\times 3}$$

Adder 100 til 384.

$$x=\frac{-10±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 484.

$$x=\frac{-10±22}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-10±22}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±22}{6} når ± er plus. Adder -10 til 22.

$$x=\frac{12}{6}$$

Divider 12 med 6.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±22}{6} når ± er minus. Subtraher 22 fra -10.

$$x=-\frac{32}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-32}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{16}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Multiplicer begge sider af ligningen med 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 6x med x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

For at finde det modsatte af x^{2}-4x+4 skal du finde det modsatte af hvert led.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Kombiner 6x^{2} og -x^{2} for at få 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Kombiner 6x og 4x for at få 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2 med x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 2x+2 med x-1, og kombiner ens led.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Tilføj -2 og 30 for at få 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Subtraher 2x^{2} fra begge sider.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Kombiner 5x^{2} og -2x^{2} for at få 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$3x^{2}+10x=28+4$$

Tilføj 28 og 4 for at få 32.

$$3x^{2}+10x=32$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{32}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{32}{3}$$

Divider \frac{10}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{32}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{32}{3}+\frac{25}{9}$$

Føj \frac{32}{3} til \frac{25}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{121}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}$$

Subtraher \frac{5}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$