Løs 3x(5-2x)=100

$$3 x ( 5 - 2 x ) = 100$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{5\sqrt{87}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25+3,886407939i$$

$$x=-\frac{5\sqrt{87}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25-3,886407939i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x med 5-2x.

$$15x-6x^{2}=100$$

Subtraher 100 fra begge sider.

$$15x-6x^{2}-100=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-6x^{2}+15x-100=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -6 med a, 15 med b og -100 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\left(-6\right)\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kvadrér 15.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\left(-6\right)\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer -4 gange -6.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+24\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer 24 gange -100.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-2400}}{2\left(-6\right)}$$

Adder 225 til -2400.

$$x=\frac{-15±\sqrt{-2175}}{2\left(-6\right)}$$

Tag kvadratroden af -2175.

$$x=\frac{-15±5\sqrt{87}i}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicer 2 gange -6.

$$x=\frac{-15±5\sqrt{87}i}{-12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-15±5\sqrt{87}i}{-12} når ± er plus. Adder -15 til 5i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-15+5\sqrt{87}i}{-12}$$

Divider -15+5i\sqrt{87} med -12.

$$x=-\frac{5\sqrt{87}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-15±5\sqrt{87}i}{-12} når ± er minus. Subtraher 5i\sqrt{87} fra -15.

$$x=\frac{-5\sqrt{87}i-15}{-12}$$

Divider -15-5i\sqrt{87} med -12.

$$x=\frac{5\sqrt{87}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{5\sqrt{87}i}{12}+\frac{5}{4} x=\frac{5\sqrt{87}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 3x med 5-2x.

$$15x-6x^{2}=100$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-6x^{2}+15x=100$$

Divider begge sider med -6.

$$\frac{-6x^{2}+15x}{-6}=\frac{100}{-6}$$

Division med -6 annullerer multiplikationen med -6.

$$x^{2}+\frac{15}{-6}x=\frac{100}{-6}$$

Reducer fraktionen \frac{15}{-6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{100}{-6}$$

Reducer fraktionen \frac{100}{-6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{50}{3}$$

Divider -\frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{50}{3}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{50}{3}+\frac{25}{16}$$

Føj -\frac{50}{3} til \frac{25}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{725}{48}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{725}{48}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{725}{48}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{5\sqrt{87}i}{12} x-\frac{5}{4}=-\frac{5\sqrt{87}i}{12}$$

Adder \frac{5}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5\sqrt{87}i}{12}+\frac{5}{4} x=-\frac{5\sqrt{87}i}{12}+\frac{5}{4}$$