Løs 3x^2-x-12=0

$$3 x ^ { 2 } - x - 12 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{145} + 1}{6} \approx 2,173599096$$

$$x=\frac{1-\sqrt{145}}{6}\approx -1,840265763$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-x-12=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -1 med b og -12 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+144}}{2\times 3}$$

Adder 1 til 144.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{145}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -1 er 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{145}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{1±\sqrt{145}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{145}}{6} når ± er plus. Adder 1 til \sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}+1}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{1±\sqrt{145}}{6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{145} fra 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{145}}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{145}+1}{6} x=\frac{1-\sqrt{145}}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-x-12=0$$

Adder 12 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Hvis -12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-x=-\left(-12\right)$$

Subtraher -12 fra 0.

$$3x^{2}-x=12$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-x}{3}=\frac{12}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{12}{3}$$

Divider 12 med 3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=4$$

Divider -\frac{1}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=4+\frac{1}{36}$$

Adder 4 til \frac{1}{36}.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{145}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{145}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{145}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{145}}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{145}}{6}$$

Adder \frac{1}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{145}+1}{6} x=\frac{1-\sqrt{145}}{6}$$