Løs 3x^2-8x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2,786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0,119632981$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -8 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

Adder 64 til 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 76.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -8 er 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} når ± er plus. Adder 8 til 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

Divider 8+2\sqrt{19} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{19} fra 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

Divider 8-2\sqrt{19} med 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$3x^{2}-8x=1$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

Divider -\frac{8}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{4}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{4}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{4}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Føj \frac{1}{3} til \frac{16}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Adder \frac{4}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$