Løs 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1,166666667+0,552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1,166666667-0,552770798i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -7 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

Adder 49 til -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} når ± er plus. Adder 7 til i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{11} fra 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-7x=-5$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Divider -\frac{7}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Føj -\frac{5}{3} til \frac{49}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Adder \frac{7}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$