Løs 3x^2-7x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Løsningen er det par, der får summen -7.

$$a=-4 b=-3$$

Omskriv 3x^{2}-7x+4 som \left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Udx i den første og -1 i den anden gruppe.

$$x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-4\right)\left(x-1\right)$$

Løs 3x-4=0 og x-1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -7 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kvadrér -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

Adder 49 til -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

Det modsatte af -7 er 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{7±1}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±1}{6} når ± er plus. Adder 7 til 1.

$$x=\frac{8}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{7±1}{6} når ± er minus. Subtraher 1 fra 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Divider 6 med 6.

$$x=1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-7x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-7x=-4$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Divider -\frac{7}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{7}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{7}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{7}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

Føj -\frac{4}{3} til \frac{49}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

Adder \frac{7}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$