Løs 3x^2-41x=-110

$$3 x ^ { 2 } - 41 x = - 110$$

Løs for x

$$x=10$$

$$x = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Tilføj 110 på begge sider.

$$3x^{2}-41x+110=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx+110. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-41 ab=3\times 110=330$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 330.

$$-1,-330 -2,-165 -3,-110 -5,-66 -6,-55 -10,-33 -11,-30 -15,-22$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-330=-331 -2-165=-167 -3-110=-113 -5-66=-71 -6-55=-61 -10-33=-43 -11-30=-41 -15-22=-37$$

Løsningen er det par, der får summen -41.

$$a=-30 b=-11$$

Omskriv 3x^{2}-41x+110 som \left(3x^{2}-30x\right)+\left(-11x+110\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(-11x+110\right)$$

Ud3x i den første og -11 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-10\right)-11\left(x-10\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-10 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-10\right)\left(3x-11\right)$$

Løs x-10=0 og 3x-11=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=10 x=\frac{11}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-41x=-110$$

Adder 110 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-41x-\left(-110\right)=-110-\left(-110\right)$$

Hvis -110 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-41x-\left(-110\right)=0$$

Subtraher -110 fra 0.

$$3x^{2}-41x+110=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -41 med b og 110 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 3\times 110}}{2\times 3}$$

Kvadrér -41.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 3\times 110}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-12\times 110}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 110.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1320}}{2\times 3}$$

Adder 1681 til -1320.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{361}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 361.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±19}{2\times 3}$$

Det modsatte af -41 er 41.

$$x=\frac{41±19}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{41±19}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{41±19}{6} når ± er plus. Adder 41 til 19.

$$x=\frac{60}{6}$$

Divider 60 med 6.

$$x=10$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{41±19}{6} når ± er minus. Subtraher 19 fra 41.

$$x=\frac{22}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{22}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{11}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=10 x=\frac{11}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-41x=-110$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-41x}{3}=-\frac{110}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{41}{3}x=-\frac{110}{3}$$

Divider -\frac{41}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{41}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{41}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{41}{3}x+\left(-\frac{41}{6}\right)^{2}=-\frac{110}{3}+\left(-\frac{41}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{41}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{41}{3}x+\frac{1681}{36}=-\frac{110}{3}+\frac{1681}{36}$$

Føj -\frac{110}{3} til \frac{1681}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{41}{3}x+\frac{1681}{36}=\frac{361}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{41}{3}x+\frac{1681}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{41}{6}\right)^{2}=\frac{361}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{41}{6}=\frac{19}{6} x-\frac{41}{6}=-\frac{19}{6}$$

Adder \frac{41}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=10 x=\frac{11}{3}$$