Løs 3x^2-38x+32=0

$$3 x ^ { 2 } - 38 x + 32 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{265} + 19}{3} \approx 11,759606865$$

$$x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}\approx 0,907059801$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-38x+32=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -38 med b og 32 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Kvadrér -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-12\times 32}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 32.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-384}}{2\times 3}$$

Adder 1444 til -384.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1060}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 1060.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2\sqrt{265}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -38 er 38.

$$x=\frac{38±2\sqrt{265}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{38±2\sqrt{265}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{38±2\sqrt{265}}{6} når ± er plus. Adder 38 til 2\sqrt{265}.

$$x=\frac{2\sqrt{265}+38}{6}$$

Divider 38+2\sqrt{265} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{265}+19}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{38±2\sqrt{265}}{6} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{265} fra 38.

$$x=\frac{38-2\sqrt{265}}{6}$$

Divider 38-2\sqrt{265} med 6.

$$x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{265}+19}{3} x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-38x+32=0$$

Subtraher 32 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-38x+32-32=-32$$

Hvis 32 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-38x=-32$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-38x}{3}=-\frac{32}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{32}{3}$$

Divider -\frac{38}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{19}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{19}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{32}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{19}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{32}{3}+\frac{361}{9}$$

Føj -\frac{32}{3} til \frac{361}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{265}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{265}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{265}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{\sqrt{265}}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{\sqrt{265}}{3}$$

Adder \frac{19}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{265}+19}{3} x=\frac{19-\sqrt{265}}{3}$$