Løs 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Løs for x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx+84. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Løsningen er det par, der får summen -32.

$$a=-18 b=-14$$

Omskriv 3x^{2}-32x+84 som \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Ud3x i den første og -14 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-6 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Løs x-6=0 og 3x-14=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -32 med b og 84 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Kvadrér -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Adder 1024 til -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Det modsatte af -32 er 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{32±4}{6} når ± er plus. Adder 32 til 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Divider 36 med 6.

$$x=6$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{32±4}{6} når ± er minus. Subtraher 4 fra 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{28}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Subtraher 84 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Hvis 84 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Divider -84 med 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Divider -\frac{32}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{16}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{16}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{16}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Adder -28 til \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Adder \frac{16}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$