Løs 3x^2-3x-2=0

$$3 x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}\approx 1,457427108$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}\approx -0,457427108$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-3x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -3 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+24}}{2\times 3}$$

Adder 9 til 24.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -3 er 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{33}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{33}}{6} når ± er plus. Adder 3 til \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}+3}{6}$$

Divider 3+\sqrt{33} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{3±\sqrt{33}}{6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{33} fra 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{33}}{6}$$

Divider 3-\sqrt{33} med 6.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-3x-2=0$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Hvis -2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-3x=-\left(-2\right)$$

Subtraher -2 fra 0.

$$3x^{2}-3x=2$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-3x}{3}=\frac{2}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{3}\right)x=\frac{2}{3}$$

Divider -3 med 3.

$$x^{2}-x=\frac{2}{3}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$$

Føj \frac{2}{3} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{1}{2}$$