Løs 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -20 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrér -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Adder 400 til -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -20 er 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} når ± er plus. Adder 20 til 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Divider 20+2\sqrt{97} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{97} fra 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Divider 20-2\sqrt{97} med 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divider -\frac{20}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{10}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{10}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{10}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Føj -\frac{1}{3} til \frac{100}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Adder \frac{10}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$