Løs 3x^2-19x+3=0

$$3 x ^ { 2 } - 19 x + 3 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{5 \sqrt{13} + 19}{6} \approx 6,17129273$$

$$x=\frac{19-5\sqrt{13}}{6}\approx 0,162040604$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-19x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -19 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrér -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36}}{2\times 3}$$

Adder 361 til -36.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{325}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 325.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±5\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -19 er 19.

$$x=\frac{19±5\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{19±5\sqrt{13}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{19±5\sqrt{13}}{6} når ± er plus. Adder 19 til 5\sqrt{13}.

$$x=\frac{5\sqrt{13}+19}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{19±5\sqrt{13}}{6} når ± er minus. Subtraher 5\sqrt{13} fra 19.

$$x=\frac{19-5\sqrt{13}}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5\sqrt{13}+19}{6} x=\frac{19-5\sqrt{13}}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-19x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-19x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-19x=-3$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-19x}{3}=-\frac{3}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=-\frac{3}{3}$$

Divider -3 med 3.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=-1$$

Divider -\frac{19}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{19}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{19}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{19}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=-1+\frac{361}{36}$$

Adder -1 til \frac{361}{36}.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=\frac{325}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{325}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{325}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{19}{6}=\frac{5\sqrt{13}}{6} x-\frac{19}{6}=-\frac{5\sqrt{13}}{6}$$

Adder \frac{19}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5\sqrt{13}+19}{6} x=\frac{19-5\sqrt{13}}{6}$$