Løs 3x^2-12x+6=0

$$3 x ^ { 2 } - 12 x + 6 = 0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{2}+2\approx 3,414213562$$

$$x=2-\sqrt{2}\approx 0,585786438$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-12x+6=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -12 med b og 6 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 3}$$

Adder 144 til -72.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 72.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±6\sqrt{2}}{6} når ± er plus. Adder 12 til 6\sqrt{2}.

$$x=\frac{6\sqrt{2}+12}{6}$$

Divider 12+6\sqrt{2} med 6.

$$x=\sqrt{2}+2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±6\sqrt{2}}{6} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{2} fra 12.

$$x=\frac{12-6\sqrt{2}}{6}$$

Divider 12-6\sqrt{2} med 6.

$$x=2-\sqrt{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\sqrt{2}+2 x=2-\sqrt{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-12x+6=0$$

Subtraher 6 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-12x+6-6=-6$$

Hvis 6 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-12x=-6$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-12x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)x=-\frac{6}{3}$$

Divider -12 med 3.

$$x^{2}-4x=-\frac{6}{3}$$

Divider -6 med 3.

$$x^{2}-4x=-2$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-2+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=-2+4$$

Adder -2 til 4.

$$x^{2}-4x+4=2$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=2$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Forenkling.

$$x-2=\sqrt{2} x-2=-\sqrt{2}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{2}+2 x=2-\sqrt{2}$$