Løs 3x^2-11x+7=0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x + 7 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{37} + 11}{6} \approx 2,847127088$$

$$x=\frac{11-\sqrt{37}}{6}\approx 0,819539578$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-11x+7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -11 med b og 7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kvadrér -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-84}}{2\times 3}$$

Adder 121 til -84.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Det modsatte af -11 er 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{11±\sqrt{37}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±\sqrt{37}}{6} når ± er plus. Adder 11 til \sqrt{37}.

$$x=\frac{\sqrt{37}+11}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{11±\sqrt{37}}{6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{37} fra 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{37}}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{37}+11}{6} x=\frac{11-\sqrt{37}}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-11x+7=0$$

Subtraher 7 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-11x+7-7=-7$$

Hvis 7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-11x=-7$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-11x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Divider -\frac{11}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{36}$$

Føj -\frac{7}{3} til \frac{121}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{37}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{37}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{36}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{37}}{6} x-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{37}}{6}$$

Adder \frac{11}{6} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{37}+11}{6} x=\frac{11-\sqrt{37}}{6}$$