Løs 3x^2-10x=48

$$3 x ^ { 2 } - 10 x = 48$$

Løs for x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=6$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 48 fra begge sider.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-48. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-10 ab=3\left(-48\right)=-144$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Løsningen er det par, der får summen -10.

$$a=-18 b=8$$

Omskriv 3x^{2}-10x-48 som \left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right)$$

Ud3x i den første og 8 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-6\right)+8\left(x-6\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-6 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-6\right)\left(3x+8\right)$$

Løs x-6=0 og 3x+8=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}-10x=48$$

Subtraher 48 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}-10x-48=48-48$$

Hvis 48 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, -10 med b og -48 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -48.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+576}}{2\times 3}$$

Adder 100 til 576.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 676.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±26}{2\times 3}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$x=\frac{10±26}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{10±26}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±26}{6} når ± er plus. Adder 10 til 26.

$$x=\frac{36}{6}$$

Divider 36 med 6.

$$x=6$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{10±26}{6} når ± er minus. Subtraher 26 fra 10.

$$x=-\frac{16}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-16}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}-10x=48$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{48}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{48}{3}$$

Divider 48 med 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=16$$

Divider -\frac{10}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=16+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=16+\frac{25}{9}$$

Adder 16 til \frac{25}{9}.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{13}{3}$$

Adder \frac{5}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$