Løs 3x^2+x=11

$$3 x ^ { 2 } + x = 11$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{133} - 1}{6} \approx 1,755427099$$

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}\approx -2,088760432$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+x=11$$

Subtraher 11 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+x-11=11-11$$

Hvis 11 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+x-11=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 1 med b og -11 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -11.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+132}}{2\times 3}$$

Adder 1 til 132.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} når ± er plus. Adder -1 til \sqrt{133}.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{133} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+x=11$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{11}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{11}{3}$$

Divider \frac{1}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{11}{3}+\frac{1}{36}$$

Føj \frac{11}{3} til \frac{1}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{133}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{133}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{133}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{133}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{133}}{6}$$

Subtraher \frac{1}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$