Løs 3x^2+x+7=0

$$3 x ^ { 2 } + x + 7 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6}\approx -0,166666667+1,518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}\approx -0,166666667-1,518405597i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+x+7=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 1 med b og 7 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-84}}{2\times 3}$$

Adder 1 til -84.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -83.

$$x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6} når ± er plus. Adder -1 til i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{83}i}{6} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{83} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+x+7=0$$

Subtraher 7 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+x+7-7=-7$$

Hvis 7 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+x=-7$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Divider \frac{1}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Føj -\frac{7}{3} til \frac{1}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{83}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Subtraher \frac{1}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-1}{6}$$