Løs 3x^2+9x-30=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 3.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-10. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -10.

$$-1,10 -2,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=-2 b=5$$

Omskriv x^{2}+3x-10 som \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

Udx i den første og 5 i den anden gruppe.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Løs x-2=0 og x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 9 med b og -30 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

Adder 81 til 360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 441.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±21}{6} når ± er plus. Adder -9 til 21.

$$x=\frac{12}{6}$$

Divider 12 med 6.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±21}{6} når ± er minus. Subtraher 21 fra -9.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Divider -30 med 6.

$$x=-5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=-5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Adder 30 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Hvis -30 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

Subtraher -30 fra 0.

$$3x^{2}+9x=30$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

Divider 9 med 3.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

Divider 30 med 3.

$$x^{2}+3x=10$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Adder 10 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-5$$