Løs 3x^2+9x+8=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 8 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}\approx -1,5+0,645497224i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}\approx -1,5-0,645497224i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+9x+8=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 9 med b og 8 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 8}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-96}}{2\times 3}$$

Adder 81 til -96.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-15}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -15.

$$x=\frac{-9±\sqrt{15}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{15}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{15}i}{6} når ± er plus. Adder -9 til i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{15}i}{6}$$

Divider -9+i\sqrt{15} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{15}i}{6} når ± er minus. Subtraher i\sqrt{15} fra -9.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-9}{6}$$

Divider -9-i\sqrt{15} med 6.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+9x+8=0$$

Subtraher 8 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+9x+8-8=-8$$

Hvis 8 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+9x=-8$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{8}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Divider 9 med 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{8}{3}$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{8}{3}+\frac{9}{4}$$

Føj -\frac{8}{3} til \frac{9}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{12}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{12}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{12}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{6} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{6}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{15}i}{6}-\frac{3}{2}$$