Løs 3x^2+9x+6=90

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

Løs for x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 90 fra begge sider.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Subtraher 90 fra 6 for at få -84.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Divider begge sider med 3.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som x^{2}+ax+bx-28. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=-4 b=7$$

Omskriv x^{2}+3x-28 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Udx i den første og 7 i den anden gruppe.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Løs x-4=0 og x+7=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=4 x=-7$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Subtraher 90 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

Hvis 90 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Subtraher 90 fra 6.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 9 med b og -84 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -84.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

Adder 81 til 1008.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 1089.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±33}{6} når ± er plus. Adder -9 til 33.

$$x=\frac{24}{6}$$

Divider 24 med 6.

$$x=4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±33}{6} når ± er minus. Subtraher 33 fra -9.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Divider -42 med 6.

$$x=-7$$

Ligningen er nu løst.

$$x=4 x=-7$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Subtraher 6 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

Hvis 6 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

Subtraher 6 fra 90.

$$3x^{2}+9x=84$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

Divider 9 med 3.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

Divider 84 med 3.

$$x^{2}+3x=28$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Adder 28 til \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=4 x=-7$$