Løs 3x^2+9x+4=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 4 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}\approx -0,542572892$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}\approx -2,457427108$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+9x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 9 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-48}}{2\times 3}$$

Adder 81 til -48.

$$x=\frac{-9±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6} når ± er plus. Adder -9 til \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}-9}{6}$$

Divider -9+\sqrt{33} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{33} fra -9.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-9}{6}$$

Divider -9-\sqrt{33} med 6.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+9x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+9x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+9x=-4$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Divider 9 med 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{4}{3}$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{4}{3}+\frac{9}{4}$$

Føj -\frac{4}{3} til \frac{9}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{11}{12}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$