Løs 3x^2+6x=-18

$$3 x ^ { 2 } + 6 x = - 18$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-1+\sqrt{5}i\approx -1+2,236067977i$$

$$x=-\sqrt{5}i-1\approx -1-2,236067977i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+6x=-18$$

Adder 18 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+6x-\left(-18\right)=-18-\left(-18\right)$$

Hvis -18 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+6x-\left(-18\right)=0$$

Subtraher -18 fra 0.

$$3x^{2}+6x+18=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 6 med b og 18 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 3\times 18}}{2\times 3}$$

Kvadrér 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 3\times 18}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-12\times 18}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 18.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-216}}{2\times 3}$$

Adder 36 til -216.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-180}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -180.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-6±6\sqrt{5}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±6\sqrt{5}i}{6} når ± er plus. Adder -6 til 6i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-6+6\sqrt{5}i}{6}$$

Divider -6+6i\sqrt{5} med 6.

$$x=-1+\sqrt{5}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-6±6\sqrt{5}i}{6} når ± er minus. Subtraher 6i\sqrt{5} fra -6.

$$x=\frac{-6\sqrt{5}i-6}{6}$$

Divider -6-6i\sqrt{5} med 6.

$$x=-\sqrt{5}i-1$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-1+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+6x=-18$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+6x}{3}=-\frac{18}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{6}{3}x=-\frac{18}{3}$$

Divider 6 med 3.

$$x^{2}+2x=-\frac{18}{3}$$

Divider -18 med 3.

$$x^{2}+2x=-6$$

Divider 2, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 1. Adder derefter kvadratet af 1 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-6+1^{2}$$

Kvadrér 1.

$$x^{2}+2x+1=-6+1$$

Adder -6 til 1.

$$x^{2}+2x+1=-5$$

Faktor x^{2}+2x+1. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=-5$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

Forenkling.

$$x+1=\sqrt{5}i x+1=-\sqrt{5}i$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$x=-1+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i-1$$