Løs 3x^2+5x-10=0

$$3 x ^ { 2 } + 5 x - 10 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{145} - 5}{6} \approx 1,173599096$$

$$x=\frac{-\sqrt{145}-5}{6}\approx -2,840265763$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+5x-10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 5 med b og -10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -10.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+120}}{2\times 3}$$

Adder 25 til 120.

$$x=\frac{-5±\sqrt{145}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{145}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{145}}{6} når ± er plus. Adder -5 til \sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}-5}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{145}}{6} når ± er minus. Subtraher \sqrt{145} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{145}-5}{6}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{145}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{145}-5}{6}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+5x-10=0$$

Adder 10 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+5x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Hvis -10 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+5x=-\left(-10\right)$$

Subtraher -10 fra 0.

$$3x^{2}+5x=10$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{10}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{10}{3}$$

Divider \frac{5}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{6}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{10}{3}+\frac{25}{36}$$

Føj \frac{10}{3} til \frac{25}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{145}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{145}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{145}{36}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{145}}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{145}}{6}$$

Subtraher \frac{5}{6} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{145}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{145}-5}{6}$$