Løs 3x^2+4x-1>0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{7}-2}{3},\infty\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 3 med a, 4 med b, og -1 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}$$

Løs ligningen x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$3\left(x-\frac{\sqrt{7}-2}{3}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\right)>0$$

For at produktet bliver positivt, skal x-\frac{\sqrt{7}-2}{3} og x-\frac{-\sqrt{7}-2}{3} begge være negative eller begge være positive. Overvej sagen, når x-\frac{\sqrt{7}-2}{3} og x-\frac{-\sqrt{7}-2}{3} begge er negative.

$$x-\frac{\sqrt{7}-2}{3}<0 x-\frac{-\sqrt{7}-2}{3}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x<\frac{-\sqrt{7}-2}{3}.

$$x<\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Overvej sagen, når x-\frac{\sqrt{7}-2}{3} og x-\frac{-\sqrt{7}-2}{3} begge er positive.

$$x-\frac{-\sqrt{7}-2}{3}>0 x-\frac{\sqrt{7}-2}{3}>0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x>\frac{\sqrt{7}-2}{3}.

$$x>\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x<\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\text{; }x>\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$