Løs 3x^2+4x+5=42

$$3 x ^ { 2 } + 4 x + 5 = 42$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{115} - 2}{3} \approx 2,907935098$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}\approx -4,241268432$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+4x+5=42$$

Subtraher 42 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+4x+5-42=42-42$$

Hvis 42 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+4x+5-42=0$$

Subtraher 42 fra 5.

$$3x^{2}+4x-37=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 4 med b og -37 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -37.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+444}}{2\times 3}$$

Adder 16 til 444.

$$x=\frac{-4±\sqrt{460}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 460.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6} når ± er plus. Adder -4 til 2\sqrt{115}.

$$x=\frac{2\sqrt{115}-4}{6}$$

Divider -4+2\sqrt{115} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{115} fra -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{115}-4}{6}$$

Divider -4-2\sqrt{115} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+4x+5=42$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+4x+5-5=42-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+4x=42-5$$

Subtraher 5 fra 42.

$$3x^{2}+4x=37$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{37}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{37}{3}$$

Divider \frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{37}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{37}{3}+\frac{4}{9}$$

Føj \frac{37}{3} til \frac{4}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{115}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{115}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{115}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{115}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{115}}{3}$$

Subtraher \frac{2}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$