Løs 3x^2+4x+4=228

$$3 x ^ { 2 } + 4 x + 4 = 228$$

Løs for x

$$x = -\frac{28}{3} = -9\frac{1}{3} \approx -9,333333333$$

$$x=8$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 228 fra begge sider.

$$3x^{2}+4x+4-228=0$$

Subtraher 228 fra 4 for at få -224.

$$3x^{2}+4x-224=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-224. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=4 ab=3\left(-224\right)=-672$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -672.

$$-1,672 -2,336 -3,224 -4,168 -6,112 -7,96 -8,84 -12,56 -14,48 -16,42 -21,32 -24,28$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+672=671 -2+336=334 -3+224=221 -4+168=164 -6+112=106 -7+96=89 -8+84=76 -12+56=44 -14+48=34 -16+42=26 -21+32=11 -24+28=4$$

Løsningen er det par, der får summen 4.

$$a=-24 b=28$$

Omskriv 3x^{2}+4x-224 som \left(3x^{2}-24x\right)+\left(28x-224\right).

$$\left(3x^{2}-24x\right)+\left(28x-224\right)$$

Ud3x i den første og 28 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-8\right)+28\left(x-8\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-8 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-8\right)\left(3x+28\right)$$

Løs x-8=0 og 3x+28=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=8 x=-\frac{28}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+4x+4=228$$

Subtraher 228 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+4x+4-228=228-228$$

Hvis 228 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+4x+4-228=0$$

Subtraher 228 fra 4.

$$3x^{2}+4x-224=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 4 med b og -224 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-224\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-224\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-224\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -224.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+2688}}{2\times 3}$$

Adder 16 til 2688.

$$x=\frac{-4±\sqrt{2704}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 2704.

$$x=\frac{-4±52}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-4±52}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±52}{6} når ± er plus. Adder -4 til 52.

$$x=\frac{48}{6}$$

Divider 48 med 6.

$$x=8$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±52}{6} når ± er minus. Subtraher 52 fra -4.

$$x=-\frac{56}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-56}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{28}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=8 x=-\frac{28}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+4x+4=228$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+4x+4-4=228-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+4x=228-4$$

Subtraher 4 fra 228.

$$3x^{2}+4x=224$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{224}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{224}{3}$$

Divider \frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{224}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{224}{3}+\frac{4}{9}$$

Føj \frac{224}{3} til \frac{4}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{676}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{676}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{676}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{26}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{26}{3}$$

Subtraher \frac{2}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=8 x=-\frac{28}{3}$$