Løs 3x^2+24x+90=0

$$3 x ^ { 2 } + 24 x + 90 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-4+\sqrt{14}i\approx -4+3,741657387i$$

$$x=-\sqrt{14}i-4\approx -4-3,741657387i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+24x+90=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 24 med b og 90 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 3\times 90}}{2\times 3}$$

Kvadrér 24.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 3\times 90}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-12\times 90}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 90.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-1080}}{2\times 3}$$

Adder 576 til -1080.

$$x=\frac{-24±\sqrt{-504}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -504.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{6} når ± er plus. Adder -24 til 6i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-24+6\sqrt{14}i}{6}$$

Divider -24+6i\sqrt{14} med 6.

$$x=-4+\sqrt{14}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{6} når ± er minus. Subtraher 6i\sqrt{14} fra -24.

$$x=\frac{-6\sqrt{14}i-24}{6}$$

Divider -24-6i\sqrt{14} med 6.

$$x=-\sqrt{14}i-4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-4+\sqrt{14}i x=-\sqrt{14}i-4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+24x+90=0$$

Subtraher 90 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+24x+90-90=-90$$

Hvis 90 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+24x=-90$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+24x}{3}=-\frac{90}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{24}{3}x=-\frac{90}{3}$$

Divider 24 med 3.

$$x^{2}+8x=-\frac{90}{3}$$

Divider -90 med 3.

$$x^{2}+8x=-30$$

Divider 8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 4. Adder derefter kvadratet af 4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-30+4^{2}$$

Kvadrér 4.

$$x^{2}+8x+16=-30+16$$

Adder -30 til 16.

$$x^{2}+8x+16=-14$$

Faktor x^{2}+8x+16. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+4\right)^{2}=-14$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-14}$$

Forenkling.

$$x+4=\sqrt{14}i x+4=-\sqrt{14}i$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$x=-4+\sqrt{14}i x=-\sqrt{14}i-4$$