Løs 3x^2+24x+49=0

$$3 x ^ { 2 } + 24 x + 49 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4\approx -4+0,577350269i$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4\approx -4-0,577350269i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+24x+49=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 24 med b og 49 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 3\times 49}}{2\times 3}$$

Kvadrér 24.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 3\times 49}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-12\times 49}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 49.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-588}}{2\times 3}$$

Adder 576 til -588.

$$x=\frac{-24±\sqrt{-12}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -12.

$$x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6} når ± er plus. Adder -24 til 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-24+2\sqrt{3}i}{6}$$

Divider -24+2i\sqrt{3} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-24±2\sqrt{3}i}{6} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{3} fra -24.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-24}{6}$$

Divider -24-2i\sqrt{3} med 6.

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4 x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+24x+49=0$$

Subtraher 49 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+24x+49-49=-49$$

Hvis 49 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+24x=-49$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+24x}{3}=-\frac{49}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{24}{3}x=-\frac{49}{3}$$

Divider 24 med 3.

$$x^{2}+8x=-\frac{49}{3}$$

Divider 8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få 4. Adder derefter kvadratet af 4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-\frac{49}{3}+4^{2}$$

Kvadrér 4.

$$x^{2}+8x+16=-\frac{49}{3}+16$$

Adder -\frac{49}{3} til 16.

$$x^{2}+8x+16=-\frac{1}{3}$$

Faktor x^{2}+8x+16. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+4\right)^{2}=-\frac{1}{3}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{3}}$$

Forenkling.

$$x+4=\frac{\sqrt{3}i}{3} x+4=-\frac{\sqrt{3}i}{3}$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{3}-4 x=-\frac{\sqrt{3}i}{3}-4$$