Løs 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 2 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrér 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Adder 4 til -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} når ± er plus. Adder -2 til 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Divider -2+2i\sqrt{2} med 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{2} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Divider -2-2i\sqrt{2} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divider \frac{2}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Føj -\frac{1}{3} til \frac{1}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Subtraher \frac{1}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$