Løs 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Løs for x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-35. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Løsningen er det par, der får summen 16.

$$a=-5 b=21$$

Omskriv 3x^{2}+16x-35 som \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Udx i den første og 7 i den anden gruppe.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Løs 3x-5=0 og x+7=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 16 med b og -35 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrér 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Adder 256 til 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-16±26}{6} når ± er plus. Adder -16 til 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-16±26}{6} når ± er minus. Subtraher 26 fra -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Divider -42 med 6.

$$x=-7$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Adder 35 på begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Hvis -35 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Subtraher -35 fra 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Divider \frac{16}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{8}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{8}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{8}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Føj \frac{35}{3} til \frac{64}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Subtraher \frac{8}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$