Løs 3x^2+16x+5=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x + 5 = 0$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx+5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=16 ab=3\times 5=15$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 15.

$$1,15 3,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+15=16 3+5=8$$

Løsningen er det par, der får summen 16.

$$a=1 b=15$$

Omskriv 3x^{2}+16x+5 som \left(3x^{2}+x\right)+\left(15x+5\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(15x+5\right)$$

Udx i den første og 5 i den anden gruppe.

$$x\left(3x+1\right)+5\left(3x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x+1\right)\left(x+5\right)$$

Løs 3x+1=0 og x+5=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-\frac{1}{3} x=-5$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$3x^{2}+16x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 3 med a, 16 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kvadrér 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicer -4 gange 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicer -12 gange 5.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-60}}{2\times 3}$$

Adder 256 til -60.

$$x=\frac{-16±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Tag kvadratroden af 196.

$$x=\frac{-16±14}{2\times 3}$$

Multiplicer 2 gange 3.

$$x=\frac{-16±14}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-16±14}{6} når ± er plus. Adder -16 til 14.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-16±14}{6} når ± er minus. Subtraher 14 fra -16.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Divider -30 med 6.

$$x=-5$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-5$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$3x^{2}+16x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$3x^{2}+16x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$3x^{2}+16x=-5$$

Divider begge sider med 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Division med 3 annullerer multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Divider \frac{16}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{8}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{8}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{8}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{64}{9}$$

Føj -\frac{5}{3} til \frac{64}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{7}{3}$$

Subtraher \frac{8}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{1}{3} x=-5$$