Løs 3x^2+14x-5<0

$$3 x ^ { 2 } + 14 x - 5 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-5,\frac{1}{3}\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+14x-5=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 3 med a, 14 med b, og -5 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{-14±16}{6}$$

Løs ligningen x=\frac{-14±16}{6} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+5\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x-\frac{1}{3} og x+5 have modsatte tegn. Overvej sagen, når x-\frac{1}{3} er positiv og x+5 er negativ.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+5<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x+5 er positiv og x-\frac{1}{3} er negativ.

$$x+5>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(-5,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-5,\frac{1}{3}\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(-5,\frac{1}{3}\right)$$