Løs 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Løs for x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Vejledning i brug af substitution

Overvej den første ligning. Subtraher 6y fra begge sider.

$$3x+9-6y=0$$

Subtraher 9 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$3x-6y=-9$$

Overvej den anden ligning. Tilføj 12 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$-2x-2y=12$$

Hvis du vil løse et par ligninger ved hjælp af substitution, skal du først løse en af ligningerne for en af variablerne. Derefter skal du substituere resultatet for den pågældende variabel i den anden ligning.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Vælg én af ligningerne, og løs den for x ved at isolere x på venstre side af lighedstegnet.

$$3x-6y=-9$$

Adder 6y på begge sider af ligningen.

$$3x=6y-9$$

Divider begge sider med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Multiplicer \frac{1}{3} gange 6y-9.

$$x=2y-3$$

Substituer 2y-3 for x i den anden ligning, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Multiplicer -2 gange 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Adder -4y til -2y.

$$-6y+6=12$$

Subtraher 6 fra begge sider af ligningen.

$$-6y=6$$

Divider begge sider med -6.

$$y=-1$$

Substituer -1 for y i x=2y-3. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=-2-3$$

Adder -3 til -2.

$$x=-5$$

Systemet er nu løst.

$$x=-5,y=-1$$

Vejledning i brug af matrixer

Overvej den første ligning. Subtraher 6y fra begge sider.

$$3x+9-6y=0$$

Subtraher 9 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$3x-6y=-9$$

Overvej den anden ligning. Tilføj 12 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$-2x-2y=12$$

Sæt ligningerne i standardformlen, og brug derefter matrixer til at løse ligningssystemet.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Skriv ligningerne i matrixformularen.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplicer venstre side af ligningen med den inverse matrix af \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Produktet af en matrix og dens inverse matrix er identitetsmatrixen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matricerne på venstre side af lighedstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

For matrixen 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)er den inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matrixligningen kan omskrives som et problem med matrixmultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplicer matrixer.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Udfør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Udtræk matrixelementerne x og y.

$$x=-5,y=-1$$

Vejledning i brug af eliminering

Overvej den første ligning. Subtraher 6y fra begge sider.

$$3x+9-6y=0$$

Subtraher 9 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$3x-6y=-9$$

Overvej den anden ligning. Tilføj 12 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$-2x-2y=12$$

Koefficienterne for en af variablerne skal være ens i begge ligninger for at kunne løse ligninger ved hjælp af eliminering, så variablen udlignes, når den ene ligning subtraheres fra den anden.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Hvis 3x og -2x skal være lig med hinanden, skal du multiplicere alle led på hver side af den første ligning med -2 og alle led på hver side af den anden ligning med 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Forenkling.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Subtraher -6x-6y=36 fra -6x+12y=18 ved at subtrahere ens led på begge sider af lighedstegnet.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Adder -6x til 6x. Betalingsbetingelserne -6x og 6x udlignes, og efterlader en ligning med kun én variabel, der kan løses.

$$12y+6y=18-36$$

Adder 12y til 6y.

$$18y=18-36$$

Adder 18 til -36.

$$18y=-18$$

Divider begge sider med 18.

$$y=-1$$

Substituer -1 for y i -2x-2y=12. Da den resulterende ligning kun indeholder én variabel, kan du løse ligningen direkte for x.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Multiplicer -2 gange -1.

$$-2x+2=12$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$-2x=10$$

Divider begge sider med -2.

$$x=-5$$

Systemet er nu løst.

$$x=-5,y=-1$$